これは近くの茅ヶ崎市立浜須賀中学校での数学補習授業の支援を頼まれたときの講演記録です。
高津高の数学の松田先生の夏休み前の授業で「神々のめでし人 ガロア」の伝記を読むように勧められました。それを思い出しながら話をしました。
１（浜中3年の選択科目で数学基礎を選択した）数学の不得意の君へ
元来、人間社会で、数学が好きな人はきわめて少数派です。大抵は、数学など関係ない世界にいて、そこには近寄らないようにしているのです。
不得意だけれど、選択科目に「数学の基礎」というのがあるならやってみようと考えた君たちに乾杯します。君たちはいい選択をしました。それは「世にも不思議な国」へのパスポートが与えられるからです。
２ 数学は「難しい」の代表選手
なぜ君は数学がにがてでしょうか。それは「なんか難しそうだから」でしょう。それは当たっています。数学はこの人生の中でぶっつかる2番目にむつかしいものです。
（1番は、なんでしょう？）
数学が難しいのは、足し算や掛け算を、間違いなく、すばやくやることが出来ないからではありません。（小中学校の算数数学の点数は、それで決まってくるから、そう思うのは無理ありませんが、）
本当の理由は、それが抽象的だからです。小学校や中学１年くらいの算数は、社会生活に実際のモデルがあって、それにおきなおすことができてまだわかりやすかったのです。中学校の後半から数学が難しくなるのは、だんだん現実の世界から抜けだして人間の空想（抽象）の中で、論理を組み立てていく、いわば独自の言葉の世界に入って行くからです。現実のなかに、そのモデルを見つける事がだんだんなくなってくるのです。おまけに、その数学の世界を支配している言語が、まったく特殊であるということからもあります。知らない国にいくと、先ずはその知らない言葉の壁を感じて途方にくれてしまうのとおなじです。
外国でその言葉をまるで知らないでいると、いつまでも理解できない国でしょうが、しかし、言葉を少しでも知っていれば、その国にいることをチャンスと考えてその言葉の習得に努めるでしょう。数学も同じです。
３ 数学は特別な外国語 それが話されている国は「純粋世界国」
数学はその世界の言葉に慣れ親しむことが、わかるはじめです。言葉といっても実は、さまざまある地球上の人々が話す言葉とは違っています。それは作り出した人々がいる人工的な言葉だということです。（人工的で作った人がはっきりしているということでは、韓国のハングルは似ていて、それは歴史的に特殊な例ですが、しかしそれは歴史的に1回きりのことで、後々の世界の天才たちが寄ってたかって作っていくものではありません。）
数学は、自然に生まれ、変化は少しずつしかしない民族言語とは違い、歴史上に次々に生まれた天才たちの発想の積み重ねで創られ、今も刻々新しくなっているという点で特別なのです。今も新しく作られている数学ですが、中学で学ぶ数学は、せいぜい１９世紀くらいまでに作り出されたものです。２０世紀の数学は、大学の数学研究室にいかないと出会うことがないでしょう。
外国語を学ぶのと同じように、難しいと考え込まないで、慣れて行くことです。慣れ親しめば、難しさは自然と消えて行くものです。「慣れ」という武器で、数学の世界の入り口に入り込めば、独自の考え方が出来るようになってきます。物事を論理的に考えるという考え方です。それはあなたにとっての財産にきっとなります。
４、何のために
それは人間というものは、未解決の問題が、自分の前にぶらさがれば、何とか自分の手で解決しようとするものだからです。「未解決の問題」は現実の生活においても、考える抽象の世界でも、次々に生まれてきます。それに逃げずに取り組むという姿勢が積極的な人生には大切です。それがあれば、われわれも天才の仲間、問題のスケールが小さいだけです。
紀元前のはるか昔から数学は始まりました。ピラミッドのように大きくて正確に方向を示す建築物を作ることは難問でした。それは、測量からはじまった幾何と暦の数学がなければ出来ません。その頃の天才たちは、技術者であり、数学者でもあったのです。
そのうち目先の生活に必要な技術とは関係なく、純粋に数の世界で未知の課題を解くことに専念する人たちが出てきます。ピタゴラスの定理は、建築か何かに関係ありそうですが、実際は幾何と数理で創造されたものです。
しかし、ずっと後に生まれたにもかかわらず、微分や積分の数学は物理学の発見を理解する必要から生まれたもので、現実世界をシミュレートしています。このように、現在に至るまで現実に即した数学と、純粋な思考の世界で発展される数学の世界が、入り組んで進んで人類全体の数学を作っています。そして、純粋の思考の世界で作られていった分野でも、その数学の成果が、逆に物理の新発見を支えるといったことが実際にあるから、不思議です。
５、
天才たちの役割
これまで話してきたように、数学は天才たちを抜きにしてはありえないのです。数学を作り上げてきた天才たちの早熟天才ぶりは並大抵のものではありません。
幼少の頃に周りを驚かしたエピソードを聞くと今も驚くものばかりです。みなさんも知っているハンガリー人数学者ピーターフランクルさんは、４才のとき２桁の掛け算が暗算で出来たといいます。３つ上のお姉さんが９９を暗誦しているのを、聞いてそれをたちまち覚えたからできたのだそうです。小学校６年の時中学対象の数学コンテストで１位。高校時代はハンガリーのテレビ数学コンテスト全国１位といった具合。高校では数学の授業は免除です。このフランクル先生は、不自由だったハンガリーから、自由を求めてフランスに亡命、世界を旅し、今日本に残って日本の数学教育をよくしようと努力してくれています。
数学の天才といわれる人は、みな、自分の時代までの数学のすべてを理解するのが、驚くほど早いのです。常人がまねの出来ないのはそこです。彼らはそこで足固めをしてから、自分の出番がどこにあるのか理解してしまうのです。
不遇の天才として広く語られるエバリスト・ガロアの話をしましょう。（私が高校生の頃、数学の先生から「神々が愛でしひと」という本を紹介されました。このガロアのことが書いてありました。）
６、 ガロア
ガロアが生まれたのは、贅沢を尽くしたフランス王ブルボン王朝が、飢えた人民の蜂起で倒され、ルイ１５世とマリーアントアネットが断頭台で処刑されてから約３０年、再び王朝が復活して、人民の反撃を何とかかわそうとしていた時代でした。エヴァリスト・ガロアはパリに近い郊外の町で名士の家に生まれました。１２才まで学校に行かず家で教育されて、中学高校に相当する期間を寄宿学校の名門に入るのです。その３年目で初めて幾何学にであうのですが、「１年で学ぶべき教科書を２日で小説を読むように読み終え、内容を正確に記憶し、練習問題を解くのに何の困難も感じなかった。」次の年には、数学の先生には扱うことの出来ない生徒になっていたのです。彼の前には、１００年来世界レベルで解けない課題として５次方程式の解に取り組むというテーマがみえていたのです。日本式にいえば、大学の入試の口頭試問があったのですが、試験官が余りに初等的な質問をするのに腹を立てて喧嘩する始末です。結果当然、入試に失敗して格下の学校に行き、そこでも数学の研究に没頭して、先ほどの５次方程式には一般の解はないということを証明したのです。１９歳のとき数学の一級論文を書き学会に提出したのです。ところがこの論文は当時の学者たちには理解できなかったので、３度にわたって握りつぶされたのです。
すっかりフランスの数学アカデミーに絶望したガロア青年は、革命の過激派に入って活動するのです。王政に反対して共和制を実現しようとするのです。目立つ彼はすぐ逮捕され、牢獄につながれます。しかも理不尽なことに釈放された翌日、決闘を申し込まれて受けざるを得ない羽目におちいるのです。彼は決闘の前夜、死を覚悟して、受け入れられなかった数学の論文を、徹夜して友人宛に書き残すのです。２２才の時でした。
彼の論文がやっと理解され、群論 整数論に画期的な展開をもたらすものとわかったのは、死後１４年後でした。
６、 天才たちの望んだこと
「僕を理解してくれ」ということに尽きます。
ギリシャの天才数学者ピタゴラスは、ピタゴラスの定理から生まれるピタゴラス数を公開しなかったといいます。それどころか自分の学校を作り、門外不出の禁令を敷いたのです。
ではピタゴラスは、理解されたくなかったのかというとそうではないと思います。本当に理解できるものだけに知らせたい。ということだったのでしょう。その仲間は数学を目指す人たち。いわば仙人たちです。ピタゴラスの定理を知ったとしても当時から今に至るまで何も金儲けにはつらがらないからです。
先に述べた、ガロアは理不尽な決闘で殺されるとなった前の夜、権威者が受け入れなかった自分の数学新理論を、夜明けまでの時間を気にしながら書きました。誰かひとりでもいい、わかってくれる人が欲しい。そう願いつつ書いたに違いありません。分かる人は多くは要らない、ほんの一握りの人でいいと思ったでしょう。目もくらむような前人未踏の高さにまで飛んだ精神は、せめてその高さに見通し利く仲間を必要とするのです。彼らはその仲間が見つかれば、すべてをおしげなく与えるでしょう。
現実の生活では彼ら天才たちは恵まれた家庭に育っています。天才を開花させるにはそれなりの育ちの土壌が必要です。そのためか彼らは若い間は少し傲慢な感じを与えました。ガロアの場合、試験官は数学では自分より幼稚だと見抜いて、そのような人が自分を試験するのかという態度をとりました。人間社会が作り出す「うそ」の権威に我慢できなかったのです。このように天才たちは社会のルールの権威にただ服することを良しとしませんでした。年齢が若くても、資格がなくても、人はその存在自体で尊重されるべきだとの、正しい自負心にあふれています。
しかしそれを周りは理解せず、おろかしい嫉妬も手伝い、天才をのけ者にしてしまったり、いじめの対称にしたりしました。不遇の天才が数学のみならず、音楽のモーツアルトや、絵画のゴッホなど、多くの世界でも見られるのは、人間社会の悲しい現実です。
７、われらに出来ること、彼らから学ぶもの。
われわれ凡人には、この天才たちの仕事を理解することは不可能と正直に言わねばなりません。でもいいのです。大半の人間には理解されないまま、彼らは、何とか受け取れる人を見つけて、おしげなく与えてきたのです。その成果はやがて世界の人類に及び、知らず知らずの恩恵をわれらにあたえてくれていることを知るならば、その天才たちはもっと喜ぶでしょう。
せめて彼らに敬意を持ちましょう。そして、少なくとも彼らの姿にまなびましょう。その天与の才を使って得たものを、報酬どころか、理解し受け取ってくれる人を、必死で探してまで人に与える、この姿勢だけは学びたいのです。ささやかながらわれわれも自分の範囲で実践できることです。
彼らが人間の精神の世界の高みで発見するものは、一つの民族などを超えた世界性を持っています。
また未解決の課題に取り組むという人類共通の姿勢の前には、あらゆる権威は不要であるばかりか、現状に甘んじる権威は、それを妨害する立場に立ちがちです、そこで彼らが必要とするものは、究極のところ人間の平等な尊重なのです。天才が平等を必要とするって逆説的ですが、歴史の真実です。
８、数学的なものの考え方とは
さて話が高いところに飛びました。数学になじむことは、数学的な考え方が出来るようになることだと、ピーター･フランクルさんはいいます。では数学的なものの考え方とはどんなことでしょうか。
私は自分の生活の中で数学的なものの考え方をしたかなと思った経験をお話しましょう。場面は久しぶりの同窓会です。3~4０人集まります。何も仕掛けをしなければ、知った顔の仲間だけでお話をしておしまいになります。顔を良く覚えていない人が多いといこごちが悪いものです。そこで考えました。3~40人の集まりを少人数の短い会合を繰り返すことで、必ず全員に出会い，かつ1回だけしか出会わないというゲームをしよう。それを一期一会となずけました。私が主催となった会で過去3回やってみましたが、どの会も参加者から良かったと喜んでくれました。その組み合わせは、数表にして考えたのですが、うまく出来る人数とできない人数があり、できないときは妥協的な解を使います。一般解は見つけていません。
毎朝湘南海岸をウォーキングします。よく出会う人がいます。追い抜きざますれ違って、
帰りまたその人と出会うと、その人はどの辺でユーターンしたか、こちらが休んでいると後どれくらいで、姿が見えるかを推計します。ぴったりの時間に見えるとうれしくなります。
このような些細な経験ですが、それらの経験から数学的な考え方というのは、このように整理できると思っています。
イ、
課題を発見する姿勢をもつこと
ロ、
その課題を解きたいという意欲と、自分には解けるかもしれないという楽観主義と軽い自負心をもつ。
ハ、
課題をシンプルな骨組みにして見通しがつけやすい図やチャート、数式などに表す。
ニ、
ハの過程ですでに生まれることもあるが、解の方向を直感する。
ホ、
解を見つける作業をする。それは直感した解を丹念に検証する作業でもある。それをいとわない。
イ）とロ）は、数学的考え方には限らないとは思いますが、非常に大切です。課題をなるべく避けて通る、問題視しない、またやむを得ず課題にぶち当たった時も、そんなことは自分では出来ないと決めてしまう。それがこの態度の反対です。それは消極的な人生になります。
ハ）以降の段階で、数学をたくさん学んだ人は、解くための道具をたくさん持っている人です。早くうまい答えを見つけるかもしれません。
でも少ない道具であってもそれは卑下することはありません。少ない道具でも、工夫で、多少不器用な答えでも解決できることは期待できるのです。その解はあなたに新しい世界を開いてくれるでしょう。
数学を難しく考えずに慣れ親しむことです。きっと不思議に面白い国があなたの前に開けてくるでしょう。
２００４−８−２１& ９−３