０３．０４．１５
高校物理の問題です。（国立博物館の答え） 野口幹夫
国立自然科学博物館の自由落下に関する子供向けの実験装置の問題を紹介しました。掲載してから３週間になりました。３人の方から回答をいただきました。そのうち６期の安田さんからは、思いがけずレベルの高い解説をいただきました。それが、すでにホームページに掲載されたので、それを参照されて正答を納得された方も多いかもしれません。
問題を再掲します。
長さ３メートルくらいの傾斜した３組みのレールがあって、一番上が出発点で、そこに野球のボールくらいの木の球が３つ並んでスタートを待っています。スタートのバーを上げると３個のボールは斜めのレールに沿って下り降りるのです。２〜３秒の間に終点につきます。
３組のレールに仕掛けがあります。
第１のレールAはまっすぐに下がっていきます。
第２のレールBは途中に急に傾斜が急になるところがあり、それからちょっと下ったところで、第１のレールと平行に走り、今度は逆に上がって、再び第１にレールと同じ高さになって、終点に達します。
第３のレールCは、もう少し下がったところに、もう１カ所、同じ仕組みがしてあります。ボールは２回下がって上がることを繰り返して終点に着きます。
図１のような形です。
ボールは、３つとも、静かに滑らかに転がっていきます。この実験では、摩擦や、衝撃によるロス、ジャンプなどは考えなくても良いのです。
むろん、この３本のレールのスタートは同じ高さにあり、終点もおなじ高さになっています。すなわち経路は違うが、落下の落差は同じです。
さてこの装置で、スタートのバーを上げるとボールは同時に転がりはじめます。終点に着くのはどれが早いかが問題です。
答えはどれでしょうか
１）３つとも同時に到着する。なぜならABCとも経路は違っても、落差は同じであり、位置のエネルギーが運動のエネルギーに変化するのであるから同じ速度を得るから。
２）Aが早い。同じ速度であっても、移動距離が最も少ないから。したがってA,B,Cの順につく。
３）C,B,Aの順に到着する。へこみの下りで加速され、元に戻るときは角度がゆるいので、減速は少ないから、トータルとして加速になる。Cはそれが２回繰り返されるから、一番早い。
答えは３）で、折れ曲がり２段が一番早いのです。
お答えをいただいた方のひとりは２）を選び、もう一人は私と同じ１）と考えられました。３）と正答され、その理由を紹介されたのは６期の安田さんだけでした。
私も１）説を取りましたから、目の前でボールが、C,B,Aの順に到着するのがどうしても納得できませんでした。博物館の係員３人に聞いたのですが、納得できる答えはありませんでした。それで帰ってから、高校レベルの物理の数式計算をして、確かに３）の答えになることを確認して驚きました。それでこの問題の持っている不思議さを理解し、この装置を作った人に敬意をもったのですが、さてそれを小学生に数式を使わないでどのように説明か重要です。科学博物館で見せる意味がないからです。
さてこのように説明したらどうでしょうか。
やはり小学生にも、高さが運動に代わるという原理は知ってもらうことにしましょう。傾斜が緩やかな斜面でも、急な斜面でも落ちたところのスピードは同じだと、分かってもらいます。それは不思議なことですが、高さの持っている位置のエネルギーが運動に変わるのだから、高さが同じなら経路が違っても落ちた時のスピードは運動のエネルギーを示すのだから同じなのだと、重要な法則をまず教えます。
しかし小学生は納得しないでしょう。傾斜が急な方が早いでしょうというに違いありません。そこでいいます。最後は同じスピードになるのだが、そのスピードに到達する時間は、傾斜が緩やかな方が遅く、傾斜が急な方が早くそのスピードに到達するのですと。これは直感的に分かってくれるでしょう。
問題の実験装置ですが、２番目のレールには傾斜が急なところが１カ所あります。ボールはここで早くなります。つまり短い時間で、スピードが上がるのです。ボールは一端元の傾斜に戻るので、ちょっとスピードは落ちますが、その登りの逆傾斜は、落ち込む傾斜と、よく見て比べてみると、登りの傾斜のほうが水平線に対して緩やかなことが分かります。だからこの登りの減速は、落ち込むときに早くなったスピードをあまり減らしません。だから元の傾斜に並んだとき、１）のまっすぐの線路で走ってきたボールより早いのです。３）の線路のボールはそれを二回繰り返しますから、更に早く最終速度に達していています。
着いたときのスピードは３線路のボールとも同じなのに、そのスピードに到達する時間が早いのが、先に着くのです。
これで小学生に分かってもらえるでしょうか。
さてこの先はちょっと難しいので、高校生に考えてもらいます。ではどんな線路の形でもそうなりますか。
というとそうはなりません。問題をシンプルにして長い緩やかな傾斜と、急な傾斜と水平線で結んで終点が同じところになっているというモデルです。
６期生の安田さんが紹介してくださったHPにあるものです。このHPに計算してあるように、急な傾斜から水平に転がる方が早く着くケースを紹介しておられます。しかしそれは急な傾斜の角度によって結論は変わります。極端に急な傾斜の場合を考えますと、ボールはどすんと落ちて、水平走路はのろのろと走るので、緩やかな傾斜の方が早くつきます。まっすぐに落下すればそこでバウンドして永遠に終着点には達することはありません。
この問題をきちんと解くためには、原動力となる重力も速度も、傾斜にそった分力と垂直方向の分力に分けて考えることが必要です。傾斜がどのようであろうとも、高さのエネルギーが運動のエネルギーに代わるのですから、同じ高さから降りた場合の速度の大きさは同じですが、速度の方向は、傾斜の方向なのです。急な傾斜の場合は垂直成分が大きく、水平成分は小さくなります。そして水平線に降りたとき、この垂直成分の運動エネルギーは、衝突の衝撃として消えてしまいます。残った水平成分だけでのろのろと動き終点に着くのです。
微分積分（高校の物理でやった程度）を使って計算すれば、急な方の傾斜角と水平移動のモデルが、緩やかな一本線の傾斜線路と、同じ到着時間になるかが解けます。それより急な角度なら遅くなるのです。
それは折れ曲がり線で方向が変わる時に垂直成分が、いつも衝撃のエネルギーとして消費されるためですが、ここで当然ながらうまい工夫があります。おれ曲がりを極端に少なくして滑らかに転がすのです。それは垂直に落下をはじめて、後は円弧を描くようにもっていって、終着点に着かせるのです。このモデルがサイクロイド曲線として、安田さんの紹介してくれたHPの後半にあるものです。
国立博物館の簡単な実験装置は意外と奥深いものでした。
